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    交易所衍生品——期权产品|标准共识

    来源:标准共识

     

    Overview 概述

     

    本文将通过对比股票市场期权产品、商品交易所期权产品以及比特币期权产品来介绍比特币期权市场价格的有效性。
     

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    风险中性概率

     

    在我们开始讨论不同的期权定价模型之前,我们需要了解风险中性概率的概念。风险中性概率广泛应用于期权定价中,在不同的期权定价模型中可能会遇到。风险中性概率是根据风险调整后的未来结果的理论概率。这一概念背后有两个主要假设:
     

    1. 资产的当前价值等于以无风险利率折现的预期收益。
    2. 市场上没有套利机会。


    风险中性概率是指股票价格在风险中性世界中上升的概率。但是,我们并没有假设市场上所有的投资者都是风险中性的,也没有假设风险资产会获得无风险的收益率。这个理论价值衡量的是购买和出售资产的概率,就好像市场上所有东西都有一个单一的概率一样。
     

    期权定价

     

    在介绍各市场期权产品之前,我们首先探讨一下本文即将使用的两种期权定价方式:B-S 定价模型以及 B-A-W定价模型。

    B-S 定价模型

    首先来看推导 BS 微分方程时用到的假设:

    • 期权的行权方式为欧式,即只有到期日才可以行权。
    • 股票的价格符合几何布朗运动,即股票的不确定性满足对数正态分布。
    • 可以做空证券,且证券可以被分割(如可以买卖半手股票)。
    • 市场无摩擦,即不存在交易费用和税收。
    • 在期权期限内,标的股票不支付股息。
    • 在期权期限内,标的股票年收益率的标准差 σ 已知且保持不变。
    • 市场不存在无风险套利机会。
    • 标的资产交易是连续的(如股票市场始终开市)。
    • 短期无风险利率(由 r 表示)为常数并已知。


    不过,这些假设可以放宽,并在必要时根据特殊情况进行调整。此外,我们可以很容易地使用这个模型来为股票以外的资产(货币、期货)的期权定价。
     

    根据 Black-Scholes 模型,我们可以推导出以下数学公式来计算欧洲看涨期权和看跌期权的公允价值:

     

     

    上述公式使用了风险调整后的概率。N(d1) 是风险调整后的在期权到期时收到股票的概率。N(d2) 是期权将被执行的风险调整概率。这些概率是使用因子 d1 和 d2 的正态累积分布计算的。该公式给出了非派息股票的欧洲看涨期权的价值/价格。函数 N(・) 代表累积分布函数为正态(高斯)分布,这是一个随机变量的概率是小于等于其输入条件(即d₁和d₂)正态分布的。概率N的值(・)换句话说永远是 0≤N(・)≤1 之间。输入 d₁ 和 d₂ 得出:

     

     

    Black-Scholes 模型主要用于计算欧式期权的理论价值,由于美式期权具有在到期日之前行权的特点,因此不能应用于欧式期权。
     

    Black-Scholes 模型中使用的主要变量包括:
     

    • 标的资产的价格 (S) 是该资产的当前市场价格
    • 执行价格 (K) 是期权可以被执行的价格
    • 波动率是衡量证券价格在随后的阶段变动幅度的指标
    • 截止时间 (T) 是指从计算日期到执行日期之间的时间
    • 利率 (r) 为无风险利率


    股息收益率最初并不是模型的主要输入内容。最初的 B-S 模型是为无股利股票的期权定价而开发的。由于我们通过 Delta 对冲消除了随机性,该方程中没有任何随机变量,所以它是一个一般的(偏)微分方程,而非随机微分方程。求解这个微分方程需要给定的边界条件。对于欧式看涨期权,它的边界条件为当时间 t= T(行权时刻)时,期权的价格 C 必须满足 C = max (S (T)-K,0 ) 这里 K 是行权价格。
     

    对于任何一个期权,在定价时有两个不确定性需要考虑:
     

    这个期权到行权日到底是不是实值期权(in-the-money),就是到底有没有行权的价值(比如说我买了一个看涨期权,但是行权日股价 S 低于 K,那么这个期权就没有价值)。
     

    如果行权了,那么我们的(期望)收益到底能有多少(比如行权价是 200,在行权日股价是 220,那么每股我们能赚 20 块;而如果股价是 120,则每股我们亏 80 块)。
     

    这两个不确定性恰恰就对应着由 BS 定价公式中的 N(d1) 和 N(d2) 。
     

    B-A-W 定价模型

     

    我们知道,欧式期权只有在到期日才能行权,美式期权在到期日前的任何时候都能行权,就是这种行权时间的灵活性赋予了它相对欧式期权的一个溢价,那么,问题就清楚了,美式期权的定价公式如下:
     

    美式期权价格=欧式期权价格+溢价
     

    那么具体怎么计算呢,首先我们先引入一个描述期权价值的众所周知的偏微分方程:

     

     

    这只是对 B-S 模型的基本假设做了一些调整。基本上,我们允许对标的资产发放股息 (d),并假设其收益率为不变。股息收益率定义为每股股息除以股价。资产的持有成本 (b) 是无风险回报率减去年度股息收益率 (b = r-d)。当 d = 0 和 b = r 时,这是普通的 B-S 公式。当r = d和b = 0时,这是期货期权的 B-S 模型。
     

    提前行权溢价的定义为:

     

     

    在这里我要多解释一句:其中,C (S,T) 是美式期权价值,c (S,T) 是欧式期权价值。这里的基本要点是,美式期权的价值必须等于欧式期权价值加上一个额外特征的溢价。现在,让时间从到期日的时间向后发展,* t,此时此刻的时间为 t。然后到期时间 T 的定义是T =−t -t 溢价率的变化对时间是一个等式 εT=−εt。我们将这个结论应用于之前的偏微分方程,得到了提前行权溢价的偏微分方程。

     

     

    我们用 M = 2r/σ^2, N = 2b/σ^2 带入公式,把他简化一下:

     

    然后 Barone-Adesi & Whaley 将提前行权溢价改写为 εc(S,K)=K(T)f(S,K),表示为到期时间和股价的函数。可得 εSS = -KfSS 和 εT= KKTf + KKTfK。将这些代入上式,通过收集项和因式分解可知

     

     

    其中,K(T)= 1-exp(-rT)是已知条件。
     

    到目前为止,我们还没有做出任何近似,因此这仍然是一个精确的分析。现在看看 (1−K)MfK LHS的最后一部分。通过让T趋于0,fK趋于0,如果 T 趋于无穷,K 趋于 1。因此通过消去最后一项,剩下的方程是一个整洁的二阶常微分方程。

     

     

    我们通过求线性解,得出一个通用解:

     

     

     

     

    显而易见,现在有一个问题,那就是如何承认和设定公式的边界条件。由于 q1 < 0,则当 S = 0时,f (S)→±∞。这是不太合理的,因为从逻辑上讲,不值得为不值钱的东西支付额外的钱。一般来说,如果 S 趋向于零,那么提前行权溢价也必然趋向于零。因此施加约束 a1 =0,使a2S^q^2永远不能接近 ±∞。这个公式可以写成

     

     

    到这里,公式的推导基本就成功了。另外我们利用牛顿迭代法,就可以得到


    这也就是公式的最终解。
     

    实例分析

     

    首先,我们分别取用了道琼斯、标准普尔 500 和纳斯达克指数基金的期权(美式期权)以及 OKex、Deribit 和上证 50 ETF 的期权(欧式期权)进行比较。

     

     

    我们分别计算了上述六个期权的期权费与行权价的比、期权费与限价的比、限价与行权价的比。并通过 B-S 模型和 B-A-W 模型分别计算了他们的模型价值以及实际期权费与模型期权费的偏移值。

     

     

    从图中可以看出,与模型差距最小的是 okex 和 deribit 的期权,其中 okex 的期权与模型价格相差无几。欧式期权价格偏移值明显高于美式期权,这也是由于模型缺陷造成的正常现象。

     

     

    我们同时计算了这六个看涨期权的 break even price 和行权价以及和现价的偏移值,可以看出,btc 期权的偏移值明显高于其他期权。

     

     

     

    于是,我们每个期权采集了八条不同行权价的期权,总共 48 条数据进行观测,试图寻找期权中的偏移值与隐含波动率的关系,结果如下:

     

     

    根据观测的结果,我们可以发现偏移率能够解释 98.43%的隐含波动率情况,也就是说,线性推导关系成立。所有的期权偏移率与其隐含波动率完美符合,即btc 期权市场有效性与其他市场有效性相同。
     

    注 1:数据采集于 7 月 9 日下午 2 时 37 分
     

    Conclusion 结语

     

    对于投资者来说,除持仓风险外,对 OKEx 与 Deribit 交易所基本可以排除其市场定价有效性的怀疑。
     

    风险提示:

     
    • 警惕打着区块链和新技术的旗号进行非法金融活动,标准共识坚决抵制利用区块链进行非法集资、网络传销、ICO及各种变种、传播不良信息等各类违法行为。

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